
\documentclass[12pt,]{article}
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\begin{document}

\title{\huge{Zeeman-Spektroskopie}\thanks{Versuch F44, durchgef"uhrt am 19. und 28. November 2007, 
Betreuer Rainer Ginzel}}
\author{Ina Sch"ussler und Christian K"ohler}
\date{}
\maketitle


\thispagestyle{empty}

\begin{abstract}
\noindent
Wir beobachteten den Zeeman-Effekt mit Hilfe einer Lummer-Gehrke-Platte. 
Weiterhin wurde die Aufspaltung der Linien f"ur drei verschieden starke 
Magnetfelder gemessen und daraus \(\mu_{B}\) bestimmt. Anschlie"send wurde mit 
einem Pr"azissionsspektrometer die rote Cadmium-Linie bestimmt und eine weitere unbekannte Linie wurde als Wolfram-Linie identifiziert.

\end{abstract}

\vfill

\pagebreak


\tableofcontents
\pagebreak
\section{Zeeman-Spektroskopie}
\subsection{Theorie}
Befinden sich Atome in einem externen Magnetfeld, so kommt es zur Aufspaltung 
der atomaren Spektrallinien. Diesen Effekt nennt man 
Zeeman-Effekt, benannt nach dem niederl"andischen Physiker Pieter Zeeman
(1865-1943), welcher ihn entdeckte und unter anderem daf"ur 1902 den Nobelpreis 
bekam. Man unterscheidet zwischen normalem und anormalem Zeeman-Effekt, wobei 
der normale Zeeman-Effekt ein Spezialfall des anormalen Zeeman-Effekts ist, bei
dem der Gesamtspin Null wird; {\bf S}=\(\sum_i{\bf s}_i=0   \)
\subsubsection{Der normale Zeeman-Effekt}
Die Emission von Licht aus Atomen beschreibt man klassisch mit einem Dipol. 
Dieser wird duch einen positiv geladen Kern und ein negativ geladenes und um den
Kern kreisendes Elektron dargestellt. F"ur das Dipolmoment gilt:\\
\({\bf p} ={\it e} {\bf r}\)\\
Man betrachtet den Kern als ruhend und legt den 
Koordinatenursprung hier hinein. Dadurch l"a"st sich das System als linearer Oszilator beschreiben und man kann folgende Bewegungsgleichung aufstellen:
\[ m_e\ddot{\bf r}+m_e\omega_0^2{\bf r}=0\]  
$m_e$ ist die Masse des Elektrons,  $\omega_0$  seine Eigenfrequenz.\\


\noindent
Mit dem nun in $z$-Richtung angelegten $B$-Feld wirkt eine Lorenzkraft auf das Elektron, 
wodurch der Dipol in Pr"azession versetzt wird. Die neue Schwingungsgleichung lautet:
\[m_e\ddot{\bf r}+m_e\omega_0^2{\bf r}+|{\bf v}\times {\bf B}|=0\]

\noindent
Mit der Larmorfrequenz
\[ \omega_L =\frac{Be}{2m_e}\]

\noindent
ergibt sich:
\[\ddot{x}+\omega_0^2x+2\omega_L\dot{y}=0\]
\[\ddot{y}+\omega_0^2y+2\omega_L\dot{x}=0\]
\[\ddot{z}+\omega_0^2z=0\]

\noindent
Mit komplexen Ansatz \(x=ae^{i\omega t}\) und \(y=be^{i\omega t}\)
ergibt sich das homogene lineare Gleichungssystem:
\[(\omega_0^2-\omega^2)a+2i\omega_L\omega b=0\]
\[(\omega_0^2-\omega^2)b-2i\omega_L\omega a=0\]
Die nichttriviale L"osung ist:
\[\omega_{1,2}=\mp \omega_L + \sqrt{\omega_0^2+\omega_L^2}\approx \omega_0 \mp \omega_L\]
Wobei $ \omega_L$ gegen"uber $\omega_0$ klein ist und daher vernachl"assigt 
werden kann. Daraus ergibt sich die Frequenzverschiebung \( \triangle \nu\)  
 in Bezug auf \(\nu_0=\frac{\omega_0}{ 2 \pi}\) von:
\[\triangle \nu =\pm \frac{\omega_L}{2\pi}=\pm\frac{eB}{4\pi m_e}\]
\noindent
Die Spektrallinien spalten sich in drei Komponenten, das Lorentztriplett, auf: 
man erh"alt eine unverschobene (weil in $z$-Richtung keine Lorenzkraft wirkt)
und zwei um \(\mp\frac{\omega_L}{2\pi}\) verschobene Linien.
\\
Mit Hilfe des homogenen linearen Gleichungssystems kann man "uber 
die Polarisationsrichtung Aussagen treffen.\\
Wird  \(\omega_1=-\omega_L+\sqrt{\omega_0^2+\omega_L^2}\) in eine der beiden Gleichungen eingesetzt, ergibt sich f"ur die komplexe Amplitude \(a=-ib=be^{-i\frac{\pi}{2}}\), d.h. die x-Phase hinkt der y-Phase um \(\frac{\pi}{2}\) hinterher, die zugeh"orige Lichtwelle ist also rechts
zirkular polarisiert (\(\sigma^-\)). Mit \(\omega_2\) l"asst sich analog 
verfahren, wobei hier die Amplitude \(a=-ib=be^{+i\frac{\pi}{2}}\) ist und es so 
eine links zirkular polarisierte Welle (\(\sigma^+\)) ist. Die unver"anderte 
Linie ist linear polarisiert (\(\pi\)). Beobachtet man in Richtung des 
Magnetfeldes, so ist die \(\pi\)-Linie nicht zu sehen, da der Dipol in Schwingungsrichtung keine Strahlung abgibt.
\pagebreak
\noindent
In der wellenmechanischen Betrachtung ist die Hamiltonfunktion eines Elektrons 
mit der Masse \(m_e\) im Feld des Atomkerns:
\[H=\frac{\bf p^2}{2m_e}+V\]
wobei hier {\bf p} der Impuls des Elektrons und \(V=\frac{Ze^2}{r}\) die pot. Energie des Elektrons im elektrischen Potential des Kerns ist.
Im homogenen Magnetfeld {\bf B} ver"andert sich der Impuls zu \({\bf p}_B={\bf p}+e{\bf A}\), mit \({\bf B}=rot{\bf A}\), dadurch ergibt sich f"ur die Hamiltonfunktion
\[H=\frac{({\bf p}+e{\bf A})^2}{2m_e} +V\]
\noindent
Den Differentialoperator $-i\hbar\nabla$ ordnen wir dem Impuls {\bf p} zu, der 
${\bf A}^2$-Term kann vernachl"assigt werden.\\ Mit der Coulomb-Eichung 
$div{\bf A}=0$ ergibt sich f"ur den Hamiltonoperator:
\[H=\frac{a}{2m_e}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla+e{\bf A}\right)^2+V=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle + \frac{e\hbar}{im_e}{\bf A}+V\nabla \]
F"ur ein konstantes Magnetfeld in $z$-Richtung soll gelten:
\begin{eqnarray*} A_x=-\frac{B}{2}y, & A_y=-\frac{B}{2}x, & A_x=0 \end{eqnarray*}
\noindent
daraus folgt:
\[{\bf A}grad=\frac{B}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)=\frac{B}{2}\frac{\partial}{\partial\varphi}\]


Setzt man diese Gleichung und den Hamiltonoperator in die Schr"odingergleichung 
ein, dann ergibt sich mit der Coulombwechselwirkung $V(r)=\frac{Ze^2}{r}$ folgende
Wellengleichung:
\[\left(-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle+\frac{eB}{2m_e}\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\varphi}+V(r)\right)\Psi=E\Psi\]
Die Gleichung l"asst sich durch den Seperationansatz l"osen:
\[\Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)\]\\
F"ur die Energien gilt:
\begin{eqnarray*}E_m=E_0+B\frac{e\hbar}{2m_e}m & \mbox{mit}  & m=-l,\ldots,l\end{eqnarray*}
$E_0$ ist die Energie ohne Magnetfeld, $m$ die magnetische Quantenzahl und $l$ die 
Drehimpulsquantenzahl.\\
Es entstehen verschiedene Energieniveaus, welche in Abh"angigkeit der Magnetquantenzahl $m$ gegen"uber dem urspr"unglichen Energieniveau $E_o$ verschoben sind.\\
Zwei Niveaus $E_m$  und $E_{m+1}$ haben einen Energieunterschied von 
\[\triangle E=\frac{e\hbar}{2m_e}B\]
daraus ergibt sich eine Frequenzaufspaltung von
\[\triangle\nu=\frac{\triangle E}{\hbar}=\frac{eB}{4\pi m_e}\]
Das entspricht dem Ergebnis der halbklassischen Betrachtungsweise.

\subsubsection{Der anormale Zeeman-Effekt}
Der anormale Zeeman-Effekt tritt auf, wenn der Gesamtelektronenspin {\bf S} nicht 
verschwindet. Da dies auf die meisten Atome zutrifft, ist dieser Effekt deutlich h"aufiger zu beobachten als der normale Zeeman-Effekt. Durch den zus"atzlichen Elektronenspin entsteht ein weiteres magnetisches Moment \\
\({\bf\mu}_s=-2\frac{\mu_B}{\hbar}{\bf S}\). 

Da der Spin keine klassische Entsprechung hat, muss der anormale Zeeman-Effekt quantenmechanisch betrachtet werden.\\
Ist die L-S-Kopplungsenergie $V_{LS}$ gro"s gegen die Kopplung der einzelnen Momente
mit dem Magnetfeld, d.h.ist das "au"sere Magnetfeld schwach, so koppeln der Gesamtbahndrehimpuls {\bf L} und der Gesamtspin {\bf S} der Elektronen zu einem Gesamtdrehimpuls
{\bf J} welcher langsam um die Richtung des "au"seren Magnetfeldes pr"azidiert.\\
{\bf L}
und {\bf S} pr"azidieren ihrerseits schnell mit der Frequenz \(\omega_L=\frac{V_{LS}}{\hbar}\) um
 den Vektor{\bf J}.\\
 Die magnetischen Momente ${\bf \mu}_L$ und ${\bf \mu}_S$ zeigen 
in die Gegenrichtung von {\bf L} und {\bf S}. Das resultierende Moment ${\bf \mu}_J$
 zeigt jedoch im allgemeinen nicht in die Gegenrichtung von {\bf J}, sondern pr"azediert um {\bf J}. Da seine Pr"azesion schnell ist, kann man die Position von ${\bf \mu}_J$ zeitlich mitteln. Als Mittel bleibt die Projektion von ${\bf \mu}_J$ auf {\bf J} "ubrig.
\[\guilsinglleft\mu_J\guilsinglright=({\bf \mu}_J)_J=\frac{{\bf \mu}_J\cdot{\bf J}}{|{\bf J}|}\]
Errechnet man das zeitliche Mittel $\guilsinglleft\mu_J\guilsinglright$ aus dem Vektormodell, so erh"alt man unter Verwendung des Bohrschen Magnetons $\mu_b=\frac{e\hbar}{2m_e}$
schlie"slich:
\[\guilsinglleft\mu_J\guilsinglright=\frac{3J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2\sqrt{J(J+1)}}\mu_B\]
\[=g_J\sqrt{J(J+1)}\mu_B=g_J\mu_B\frac{|{\bf J}|}{\hbar}\]
Hierbei wurde der Lande-Faktor $g_J$ definiert durch:
\[g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}\]
Mit \(J_z=m_J\hbar\) erh"alt man somit f"ur die $z$-Komponente des mittleren magnetischen Moments
\[\guilsinglleft\mu_J\guilsinglright_z=m_Jg_J\mu_B.\]
Die potentielle Energie eines magnetischen Moments im "au"seren Feld ist gegeben durch 
\(E=-\mu\cdot{\bf B}\), daher erhalten wir in unserem Fall bei einem Magntfeld in $z$-Richtung die magnetische Zusatzenergie:
\[E=-\guilsinglleft\mu_J\guilsinglright_z{\bf B}=-m_Jg_J\mu_B{\bf B}\]
Also gilt dann f"ur den energetischen Abstand einer aufgespaltenen Linie zur unverschobenen Linie:
\[\triangle E=\mu_BB(g_J_2m_J_2-g_J_1m_J_1)\]
und somit f"ur den Frequenzabstand:
\[\triangle\nu=\frac{\mu_BB}{\hbar}(g_J_2m_J_2-g_J_1m_J_1)\]
wobei $g_J_i$ die $g$-Faktoren der zu dem jeweiligen "Ubergang geh"orenden Zust"ande sind.




\subsection{Versuchsanordnung}

\begin{center}
\epsfig{file=Aufbau.eps,width=140 mm}

\caption{Abbildung 2: Versuchsaufbau}
\end{center}

\begin{description}

\item[a)] magnetischen Polschuhe: im Bild vorne befindet sich ein ``Guckloch'' um die polarisierten Wellen in Magnetfeldrichtung beobachten zu k"onnen und um in Teil II des Versuchs das Licht der Cd-Lampe in die Glasfaser einzuspeisen.\\
\item[b)] Cadmium-Lampe (fest eingespannt)
\item[c)] Farbfilter
\item[d)] Lummer-Gehrcke-Platte
\item[e)] Teleskop
\item[f)] Okular
\item[g)] H"ohenstellschraube mit analoger Drehanzeige f"ur die sp"atere Messung. 
\item[h)] Stellschraube (fest w"ahend des Versuchs) 
\item[i)] siehe h)
\end{description}

\noindent
Die Interferenzeffekte werden in der Lummer-Gehrcke-Platte erzeugt. Zuerst wird das Licht aus der Cd-Lampe mit Hilfe eines Prismas in die Platte eingekoppelt. Dort wird es mehrfach reflektiert (siehe Abb. 3), wobei bei jeder Reflektion ein kleiner Teil der Lichtintensit"at an der Oberfl"ache der Lummer-Gehrcke-Platte gebrochen wird und austritt.
Die ausgetretenen Strahlen "uberlagern sich und man erkennt durch das Fernrohr ein Interferenzmuster.
\begin{center}
\epsfig{file=CTM.eps,width=140 mm}

\caption{Abbildung 3: Lummer-Gehrcke-Platte}
\end{center}

\subsection{Versuchsdurchf"uhrung}
\subsubsection{"Uberpr"ufung der Polarisation}
Durch den Rotfilter werden alle Linien au"ser der Roten ( 643.8 nm) ausgeblendet.
Das Fernrohr wird so ausgerichtet, dass die Linie "uber viele Ordnungen gut sichtbar ist.\\
Schaltet man das Magnetfeld ein, kann man nun mit steigender Magnetfeldintensit"at die Aufspaltung der Linien sehr gut erkennen.\\
Wir beobachten die Linien senkrecht zum Magnetfeld.Vor den Rotfilter kann ein linearer Polarisationsfilter gehalten werden. Durch Drehen dieses Filters k"onnen je nach Richtung der Polarisation die $\pi$-Linie bzw. die $\sigma$-Linien ausgeblendet werden.\\
Zur Pr"ufung der Polarisation bei Beobachtung in Richtung der Magnetfeldlinien wird der gesamte Sockel auf dem Spulen und Polschuhe stehen gedreht und die Linien durch das oben erw"ahnte Guckloch beobachtet.
Mit Hilfe eines $\frac{\lambda}{4}$-Pl"attchens wird die zirkulare Polarisation der $\sigma$-Linien  nachgewiesen.\\
Die $\pi$-Linie ist bei dieser Beobachtungsrichtung nicht sichtbar.\\




\subsubsection{Eichung des Magnetfeldes}
Durch das Hoch- und Herunterfahren der Spannung durchl"auft das Magnetfeld eine 
Hysterese-Kurve, die mit der Hall-Sonde gemessen wird.\\
F"ur die zugeh"origen Messwerte siehe unten stehende Tabelle.
Die daraus resultierende Hysterese-Kurve ist in Abbildung 3 zu sehen.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
U[V] & $B_{hoch}$[T] & $B_{runter}$[T] \\ \hline\hline
0       &0.007 $\pm$ 0.001        &0.008 $\pm$ 0.001\\
1       &0.070 $\pm$ 0.004	&0.072 $\pm$ 0.004\\
2       &0.135 $\pm$ 0.005	&0.141 $\pm$ 0.006\\
3	&0.203 $\pm$ 0.009	&0.210 $\pm$ 0.009\\
4	&0.273 $\pm$ 0.010	&0.279 $\pm$ 0.011\\
5	&0.342 $\pm$ 0.013	&0.348 $\pm$ 0.014\\
6	&0.409 $\pm$ 0.016	&0.418 $\pm$ 0.017\\
7	&0.480 $\pm$ 0.018	&0.481 $\pm$ 0.019\\
8	&0.546 $\pm$ 0.021	&0.555 $\pm$ 0.023\\
9	&0.610 $\pm$ 0.024	&0.621 $\pm$ 0.026\\
10	&0.676 $\pm$ 0.028	&0.686 $\pm$ 0.029\\
11	&0.741 $\pm$ 0.031	&0.749 $\pm$ 0.032\\
12	&0.795 $\pm$ 0.034	&0.802 $\pm$ 0.035\\
13	&0.838 $\pm$ 0.036	&0.844 $\pm$ 0.037\\
14	&0.874 $\pm$ 0.039	&0.877 $\pm$ 0.039\\
15	&0.905 $\pm$ 0.042	&0.905 $\pm$ 0.042\\
 
\hline

\end{tabular}
\end{center}




\begin{center}
\epsfig{file=Hysterese.eps,width=140 mm}

\caption{Abbildung 4: Hysterese}
\end{center}

\noindent
Der Fehler der durch die Hysterese zustande kommt ist im Vergleich zu den folgenden Fehlerquellen zu vernachl"assigen.\\

\noindent
Die Hall-Sonde wird aus der Verankerung herausgenommen um die Ortsabh"angigkeit des Magnetfeldes abzusch"atzen. Dazu werden Verschiebungen nach rechts, links, oben und unten, sowie Drehung der Hallsonde ausgef"uhrt und die zugeh"orige Magnetfeld"anderung notiert.\\
Insgesamt ergibt sich dadurch ein relativer (Orts-)Fehler von $6\%$\\
Der gr"o"ste Anteil stammt dabei von der Drehung.\\
Weitere Fehlerquellen sind: Statistischer Fehler kleiner 1\%, Temp-Fehler 5\%
\\
Die Hall-Sonde wird wieder fest verankert und die Stromwerte 6A, 9A, 12A werden mehrfach angefahren um den statistischen Fehler zu bestimmen.\\

\pagebreak

Dabei ergeben sich folgende Werte:

\[B(6A)=0.537 \pm 0.035 T\]
\[B(9A)=0.796 \pm 0.043 T\]
\[B(12A)=0.980 \pm 0.052 T\]



\subsubsection{Position der Interferenzstreifen}
Die Stromst"arke wird auf die festen Werte 6, 9, 12 A eingestellt. Die Positionen der
sichtbaren Linien werden auf einer L"angenskala durch eine Messuhr bestimmt. Es werden 15 nebeneinander liegende Ordnungen der $\pi$-Linien und die zugeh"origen $\sigma$-Linien ausgemessen.
\\
Die Messwerte sind in den folgenden Tabellen eingetragen.

\twocolumn

Abst"ande bei 6A\\
\linebreak
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
k &$\sigma^-$&$\pi$&$\sigma^+$ \\ \hline\hline
1 & 28.5 & 39.0 & 50.0 \\
2 & 72.5 & 79.0 & 84.5 \\
3 & 99.5 & 105.0 & 109.5 \\
4 & 121.5 & 127.0 & 130.0 \\
5 & 140.0 & 144.0 & 147.0 \\
6 & 156.0 & 160.0 & 163.0 \\
7 & 171.0 & 174.0 & 177.0 \\
8 & 185.5 & 188.0 & 190.0 \\
9 & 197.0 & 200.0 & 202.5 \\
10 & 209.0 & 211.0 & 213.0 \\
11 & 220.5 & 223.5 & 225.0 \\
12 & 231.5 & 234.0 & 236.0 \\
13 & 241.0 & 244.0 & 247.0 \\
14 & 253.0 & 254.0 & 256.0 \\
15 & 262.0 & 263.0 & 265.0 \\
\hline
\end{tabular}
\\

Abst"ande bei 9A\\
\linebreak
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
k &$\sigma^-$&$\pi$&$\sigma^+$ \\ \hline\hline
1 & - & 30.0 & 35.0 \\
2 & 61.0 & 72.0 & 79.0 \\
3 & 90.0 & 98.0 & 104.5 \\
4 & 112.0 & 119.0 & 124.0 \\
5 & 132.0 & 137.0 & 141.5 \\
6 & 148.0 & 152.0 & 157.0 \\
7 & 163.0 & 167.5 & 172.0 \\
8 & 176.0 & 181.0 & 184.0 \\
9 & 189.0 & 193.0 & 197.0 \\
10 & 200.0 & 205.0 & 208.0 \\
11 & 212.0 & 216.5 & 220.0 \\
12 & 224.0 & 227.0 & 230.0 \\
13 & 235.0 & 238.0 & 240.0 \\
14 & 244.0 & 247.0 & 250.5 \\
15 & 253.5 & 257.0 & 259.0 \\
\hline
\end{tabular}
\\
\pagebreak


Abst"ande bei 12 A\\
\linebreak
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
k &$\sigma^-$&$\pi$&$\sigma^+$ \\ \hline\hline
1 & - & 13.0 & 40.0 \\
2 & 52.0 & 63.0 & 74.0 \\
3 & 83.0 & 90.5 & 98.5 \\
4 & 104.0 & 111.0 & 119.0 \\
5 & 123.0 & 130.0 & 136.0 \\
6 & 140.5 & 146.0 & 151.0 \\
7 & 156.0 & 161.0 & 165.0 \\
8 & 169.5 & 174.0 & 178.0 \\
9 & 181.0 & 186.0 & 191.0 \\
10 & 194.0 & 198.5 & 201.5 \\
11 & 205.0 & 210.0 & 212.5 \\
12 & 216.0 & 221.0 & 224.0 \\
13 & 227.0 & 231.0 & 234.0 \\
14 & 237.0 & 240.0 & 244.0 \\
15 & 246.0 & 248.0 & 252.0 \\
\hline
\end{tabular}

\onecolumn

\subsection{Auswertung}
\subsubsection{Bestimmung der Verschiebung der Wellenl"ange}
Die "Anderung der Wellenl"ange ist gegeben durch:
\[\triangle\lambda=\frac{\delta a}{\triangle a}\frac{\lambda^2}{2d\sqrt{n^2-1}}\]
\noindent
wobei hier $\lambda=643.8nm$ (rote Cadmium-Linie), $d=4.04mm$ (Dicke der Lummer-Gehrcke-Platte) und $n=1.4567$ (Brechungsindex der Platte) ist. F"ur die Bestimmung 
des Termes $\frac{\delta a}{\triangle a}$ benutzen wir folgende Methode:\\

\noindent
Der Abstand $\delta a $ der $\sigma^+$-Linie zur $\pi$-Linie wird ins 
Verh"altnis gesetzt zum Abstand $\triangle a$ der $\pi$-Linie zur $\pi$-Linie der n"achsth"oheren Ordnung. 
\\
Der Abstand $\delta a $ der $\sigma^-$-Linie zur $\pi$-Linie wird ins 
Verh"altnis gesetzt zum Abstand $\triangle a$ der  $\pi$-Linie zur $\pi$-Linie der n"achsttieferen Ordnung.




\begin{center}
\epsfig{file=Ordnung.eps,width=50 mm}
\end{center}

\noindent

$\frac{\delta a}{\triangle a}$ wird über der Ordnung aufgetragen und jeweils ein konstanter Fit darübergelegt (siehe Abbildungen 5, 6, 7).
Die Ergebnisse der Fits sind:
\[\left(\frac{\delta a}{\triangle a}\right)_{6v}=0.265 \pm 0.019\]
\[\left(\frac{\delta a}{\triangle a}\right)_{9v}=0.399 \pm 0.029\]
\[\left(\frac{\delta a}{\triangle a}\right)_{12v}=0.527 \pm 0.040\]

%\twocolumn
%\\
%Bei 6V\\
%\linebreak
%\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
%k & $(\frac{\delta a}{\triangle a})_{oben} $ & $ (\frac{\delta a}{\triangle a})_{unten}$ \\ \hline
%1 &	0.38 & - \\  
%2&	0.27 & 0.19 \\  
%3	&0.26&0.27\\  
%4&	0.21&0.33\\  
%5&	0.23&0.31\\  
%6&	0.27&0.33\\  
%7&	0.27&0.27\\  
%8&	0.20&0.22\\  
%9&	0.29&0.33\\  
%10&	0.19&0.22\\  
%11&	0.17&0.32\\  
%12&	0.25&0.31\\  
%13&	0.43&0.43\\  
%14&	0.29&0.11\\  
%15&	-&0.13\\ 
%\hline
%\end{tabular}
%\\
%
%Bei 9V\\
%\linebreak
%\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
%k & $(\frac{\delta a}{\triangle a})_{oben} $ & $ (\frac{\delta a}{\triangle a})_{unten}$ \\ \hline
%1 & 0,14 &	-    \\ 
%2 & 0,37 &	0,35\\ 
%3 & 0,40 &	0,44\\ 
%4 & 0,38 &	0,50\\  
%5 & 0,43 &	0,38\\  
%6 & 0,48 &	0,36\\  
%7 & 0,50 &	0,41\\  
%8 & 0,33 &	0,59\\  
%9 & 0,50 &	0,50\\  
%10 &0,35 & 	0,71\\  
%11 &0,50 &	0,64\\  
%12 &0,38 &	0,40\\  
%13 &0,29 &	0,38\\  
%14 &0,54 &	0,50\\  
%15 & -   &	0,54\\ 
%\hline
%\end{tabular}
%\pagebreak


%Bei 12V\\
%\linebreak
%\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
%k & $(\frac{\delta a}{\triangle a})_{oben} $ & $ (\frac{\delta a}{\triangle a})_{unten}$ \\ \hline
%1 & 1,17	& - \\ 
%2 & 0,67 &	0,28\\ 
%3 & 0,64 &	0,38\\ 
%4 & 0,73 &	0,52\\ 
%5 & 0,60 &	0,58\\ 
%6 & 0,50 &	0,52\\ 
%7 & 0,44 &	0,50\\ 
%8 & 0,50 &	0,53\\ 
%9 & 0,67 & 	0,71\\ 
%10& 0,35 & 	0,56\\ 
%11& 0,29 &	0,77\\ 
%12& 0,43 &	0,83\\ 
%13& 0,50 &	0,67\\ 
%14& 1,00 &	0,50\\ 
%15& -    &	0,33\\ 
%\hline
%\end{tabular}

%\onecolumn


\begin{center}
\epsfig{file=Reloben6A.eps,width=75 mm}\\
\caption{Abbildung 5:Methode I bei 6A}\\
\epsfig{file=Reloben9A.eps,width=75 mm}\\
\caption{Abbildung 6:Methode I bei 9A}\\
\epsfig{file=Reloben12A.eps,width=75 mm}\\
\caption{Abbildung 7:Methode I bei 12A}
\end{center}

\pagebreak

%Methode II:\\
%Die zweite M"oglichkeit die Verh"altnisse der Abst"ande zu bestimmen ist erstmal die Position der
%mittleren Linien gegen die Ordnung aufzutragen. Anschlie"send wird daran ein Polynom gefittet und
%mit Hilfe dieser Funktion die Ordnung der Aufspaltung bestimmt. Die Messwerte mit dem Plot sind 
%am Beispiel vom 6A in Abbildung 7 exemplarisch dargestellt. Es wurde eine quadratische Funktion 
%der Form \(K(x)=ax^2+bx+c\) verwendet.

%\begin{center}
%\epsfig{file=QuadFit6A.eps,width=75 mm}\\
%\caption{Abbildung 8: Methode II bei 6A}\\
%\end{center}

%Die Parameter f"ur die einzelnen Fits sind:\\
%\linebreak

%\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
%Spannung & a & b & c \\ \hline 
%6V & 0.02447 $\pm$ 0.00399 & -1.5705 $\pm$ 0.1967 & 25.6298 $\pm$ 1.902\\
%9V & 0.02238 $\pm$ 0.00403 & -1.4720 $\pm$ 0.196  & 24.8323 $\pm$ 1.933\\
%12V& 0.05634 $\pm$ 0.02125 & -2.5706 $\pm$ 0.7352 & 32.0055 $\pm$ 5.772\\
%\hline 
%\end{tabular}

%\pagebreak












\subsection{Ergebnisse}
Mit dem bestimmten $\frac{\delta a}{\triangle a}$ ergibt sich die Wellenl"angen"anderung f"ur die 
Magnetfeldst"arken bei I=6A, I=9A und I=12A :
\[\triangle\lambda_{6A}=0.0128 \pm 0.0009 nm \]
\[\triangle\lambda_{9A}=0.0193 \pm 0.0014 nm \]
\[\triangle\lambda_{12A}=0.0254 \pm 0.0019 nm \]

\noindent
daraus erh"alt man die Energieverschiebung 
\[\triangle E=hc\left(\frac{1}{\lambda-\triangle\lambda}-\frac{1}{\lambda}\right)\]
\linebreak

\[\triangle E_{6A}=(6.15\pm0.46)\times 10^{-24}J\]
\[\triangle E_{9A}=(9.26\pm0.69)\times 10^{-24}J\]
\[\triangle E_{12A}=(12.20\pm0.915)\times 10^{-24}J\]

\noindent
und weiter ergibt sich das Bohrsche Magneton zu:
\[\mu_{B,6A}=(11.45\pm1.26)\times 10^{-24}\frac{J}{T}\]
\[\mu_{B,9A}=(11.63\pm1.27)\times 10^{-24}\frac{J}{T}\]
\[\mu_{B,12A}=(12.47\pm1.37)\times 10^{-24}\frac{J}{T}\]
\linebreak

\noindent
\[\mu_B=(11.85\pm1.30)\times10^{-24}\frac{J}{T}\]
Das Ergebnis stimmt im Rahmen des Fehlers mit dem Literaturwert nicht
"uberein.
\[\mu_{B,Literatur}=9.274\times 10^{-24}\frac{J}{T}\]
\noindent
Es sieht so aus als ob wir ein systematischer Fehler vorlieg, wodurch alle Werte
weit "uber dem Literaturwert liegen. Unserer Meinung nach kann dieser Fehler von der eventuell gr"o"ser als angenommenen Inhomogenit"at des Magnetfeldes herr"uhren. Ein weitere m"ogliche Erkl"arung f"ur die hohen Werte
k"onnte ein konstanter Ablesefehler an der Messuhr sein. 
Man h"atte mehr Messungen machen k"onnen, was aber auf Grund der anstrengenden
Messmethode mit dem Fernrohr zu Prblemen h"atte f"uhren können. Vielleicht kann man ja bei 
sp"ateren Versuchen die Messmethode verbessern und so die Fehler verkleinern und die 
Genauigkeit steigern.








\pagebreak
\section{Pr"azisionsmessung von Spektrallinien}
Im zweiten Teil des Versuches wird mit Pr"azisionspektroskopie die rote Cadmium-Linie bestimmt. Wir hatten hierf"ur ein Czerny-Turner-Spektrometer mit CCD-Kamera zur
Verf"ugung. Weiterhin hatten wir noch einen PC mit Steuersoftware (SpektraMax) f"ur das Spektrometer und die Kamera, sowie eine Neon-Lampe zur Kalibrierung zur Verf"ugung.


\subsection{Versuchsanordnung}

\subsubsection{Das Czerny-Turner-Spektrometer}

Das Licht der beiden Lampen wird "uber eine Weiche in eine Glasfaser 
eingekoppelt und mit zwei Linsen auf den Eingangsspalt des Spektrometers fokussiert, so dass dieser m"oglichst optimal beleuchtet ist. Hinter dem Spalt befindet sich der erste Spiegel, dessen Fokusl"ange dem Abstand zum Spalt entspricht (das Licht wird parallelisiert).
Das parallele Licht f"allt auf das drehbar gelagerte Reflexionsgitter. Der zweite Spiegel fokussiert den Strahl auf den Austrittsspalt. Hinter diesem befindet sich die CCD-Kamera.
\begin{center}
\epsfig{file=ctm.eps,width=140 mm}

\caption{Abbildung 9: Schematischer Aufbau eines Czerny-Turner-Spektrometers}
\end{center}

\noindent
Die CCD-Kamera nimmt das in verschiedene Wellenl"angen aufgespaltene Abbild des Spaltes auf. Bei einer Pr"azisionsmessung ist es wichtig die Fehler so klein wie m"oglich 
zu halten. Durch die Bewegung der Gitters entst"unde ein relativ gro"ser Fehler. Deshalb soll es w"ahrend der Messungen nicht mehr bewegt werden. 
\subsubsection{CCD-Kamera}
Die Kamera ist durch ihren Chip in der Lage ein 1024x512 Pixel gro"ses Schwarz-wei"s-Bild aufzunehmen. CCD steht f"ur Charged Coupled Device (in etwa:ladungsgekoppeltesTeil). F"allt nun ein Photon mit einer Energie von 1eV oder mehr auf das Halbleitermaterial,
so wird aus dem Valenzband ein Elektron in das Leitungsband gehoben und es flie"st ein Strom. F"ur jede Reihe steht ein ADC zur Verf"ugung, welcher die Daten an den PC
"ubermittelt.
Zur Verminderung des thermischen Rauschens wurde die Kamera fr"uher mit fl"ussigem Stickstoff gek"uhlt, wir k"uhlen sie mit einem Peltier-Element, welches durch einen L"ufter unterst"utzt wird. Es hat sich herausgestellt das dies f"ur den Versuch ausreichend ist. Somit ist der Versuch um einiges leichter zu handhaben.
\subsubsection{Software}
Als Software steht das Programm SpektraMax zur Verf"ugung, welches zum Interferometer geh"ort. Mit Hilfe des Programms kann man eine ``Linearisierung'' durchf"uhren, d.h. das Programm stellt die Counts nicht "uber die Pixel dar sondern 
direkt als Wellenl"ange. Diese Skala ist dann allerdings verschoben und die Abbildung
verzerrt (siehe Abb. 10). Zu beachten ist auch, dass die ``Linearisierungen'' 
im Programm gespiegelt dargestellt werden.\\
Wir benutzen f"ur die Kalibrierung und Pr"azisionsmessung die Darstellung "uber die Pixel.\\
Die Intensit"at kann "uber mehrere Mechanismen variiert werden. Sie sollte so eingestellt werden, dass die Bandbreite der Kamera optimal ausgenutzt wird. Die Kammera kan 16-bit pro Pixel speichern, also Werte bis \(2^{16}=65536\).\\
Der Eintrittspalt sollte mit Hilfe der Linsen optimal ausgeleucht werden und das Glasfaserakabel im 
Laufe des Versuches dann nicht mehr bewegt werden. \\
Dar"uber hinaus kann die Spaltbreite ver"andert werden. Die Beugung spielt bei diesen Spaltbreiten 
um 50$\mu$m keine Rolle, da die zu beobachtenden Wellenl"angen im sichtbaren Bereich liegen.\\
 Das einfallende Licht ist keine ebene Welle, sondern eine Verteilung mit einem eindeutigen Maximum. Bei der Abbildung durch den Spalt wird die Position der Quelle aus dem Mittelwert des beobachteten Ausschnittes dieser Intensit"atsverteilung bestimmt. Ist die Quelle nicht direkt auf den Spalt zentriert, verschiebt sich durch "Andern der Spaltbreite die Position des Intensitätsmaximums. Deshalb sollte die Quelle gut auf den Spalt ausgerichtet werden und die Spaltbreite zwischen Kalibration und Pr"azisionsmessung nicht ver"andert werden.
Weiterhin sollten auch  Reflexionsspiegel und Austrittsspaltbreite w"ahrend der Messung nicht verstellt werden.\\
Die Intensit"at kann noch "uber die Belichtungszeit der Kamera eingestellt werden. 

\subsection{Durchf"uhrung}
\subsubsection{"Ubersicht des Neon-Spektrums}
Wir benutzen die ``Linearisierung'' der Software um ein Spektrum der Neon-Lampe aufzunehmen. Die Linien von Neon sind bekannt. F"ur eine grobe "Ubersicht wird das gesamte, f"ur uns interessante, sichtbare Spektrum aufgenommen. Die einzelnen Linien werden identifiziert.\\
Es ist zu beachten, dass der Spiegel ca. alle 25 nm nachgef"uhrt wird und dies dazu f"uhren kann das ein Peak gespalten wird. Die Kalibrierung f"ur die Pr"azisionsmessung muss also so eingestellt sein, dass ein Bereich von h"ochstens 25nm aufgenommen wird.\\
In Abbildung 10 ist das aufgenommene Spektrum von Neon dargestellt.\\ Wir benutzen 
f"unf Neon-Peaks f"ur die Kalibration:
\begin{itemize}
\item 659.89528 nm 
\item 653,28824 nm
\item 650,65277 nm
\item 640,22480 nm
\item 638,29914 nm
\end{itemize}

\begin{center}
\epsfig{file=neon.eps,width=140 mm}

\caption{Abbildung 10: "Ubersicht Neon-Spektrum}
\end{center}

\subsubsection{Kalibrierung mit der Neon-Lampe und Pr"azisionsmessung \\ mit der Cadmium-Lampe}
F"ur die Kalibration w"ahlen wir ein Fenster im Bereich von 645nm aus, da wir hier die rote Cadmium-Linie erwarten. Das Spektrum von Neon wird nun aufgenommen. \\
Die Cadmium-Lampe wird eingeschaltet. Sie braucht leider einige Zeit um maximal zu leuchten, in dieser Zeit (ca 1,5 min) kann die Kalibrierung an Qualit"at verlieren.
Aus diesem Grund f"uhren wir im Anschlu"s an die Pr"azisionsmessung eine erneute Kalibrierung durch. Das Spektrum der Cadmium-Linie wird aufgenommen. Bei sehr hohen Intensit"aten kann man einen zus"atzlichen kleinen Peak sehen den wir im Anschlu"s an die Messung durch Erh"ohen der Intesit"at (Belichtungszeit) deutlicher sichtbar machen werden.
 
\subsection{Auswertung}
\subsubsection{"Uberlegungen zur Aufl"osung und Fit}

Die Linienbreite betr"agt ungef"ahr 10 Pixel. Die Aufl"osung der Wellenl"ange wird im schlechtesten Fall durch die Pixelbreite bestimmt. Der CCD-Chip ist 1024 Pixel
breit. F"ur ein Spektrum von 50 nm Breite ergibt sich ein Fehler von ca. 0.050 nm. 
Durch einen Fit an die Verteilung einzelner Linien kann die Aufl"osung jedoch auf einen Subpixel-Bereich verbessert werden. Hierf"ur sind Kenntnisse der Linienform von n"oten. Die nat"urliche Linienbreite wird durch eine Lorentzkurve beschrieben. Durch verschiedene Mechanismen wie thermische Bewegung der Atome, Einfl"usse von Druck und Temperatur auf die Messaufbauten, Eigenschaften des Spektrometers, z.B. Qualit"at des Gitters und der Spalte, haupts"achlich aber Dopplerverbreiterung und Aufl"osungsverm"ogen der CCD-Kamera wird die Lorentzkurve verbreitert. Diese Einfl"usse f"uhren zu einer Gauss-Verteilung.\\
Die theoretische Linienform ist damit eine Faltung einer Lorentz- und einer Gauss-Verteilung. Man nennt sie Voigt-Profil, welches aber nicht analytisch darstellbar ist.
Die Lorentz-Verteilung kann bei uns nicht mehr angewendet werden, da die Linienbreite der Gauss-Verteilung hier um einen Faktor 100 gr"o"ser ist als die der Lorentz-Verteilung
und sie somit untergeht. Alle Kurven wurden mit einer Gauss-Verteilung gefittet.Zum anschaulichen Vergleich sind im Folgenden auch die Fits der Lorentzkurven mit abgebildet.


\pagebreak
\subsubsection{Bestimmung der Wellenl"angen der bekannten Neon-Linien}

Die Ergebnisse sind in der anschlie"senden Tabelle eingetragen.

\begin{center}
\epsfig{file=test2peak1.eps,width=140 mm}

\caption{Abbildung 11: Fit an den ersten Peak von Neon}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
\(\lambda\) & Literaturwert [nm] & Gauss [Pixel] \\ \hline \hline
\(\lambda_{1,Ne}\) & 659.89528 & 85.257  \(\pm\) 0.039\\
\(\lambda_{2,Ne}\) & 653.28824 & 278.847 \(\pm\) 0.104\\
\(\lambda_{3,Ne}\) & 650.65277 & 355.845 \(\pm\) 0.099\\
\(\lambda_{4,Ne}\) & 640.22480 & 659.390 \(\pm\) 0.102\\
\(\lambda_{5,Ne}\) & 638.29914 & 714.781 \(\pm\) 0.107\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent
Mit Hilfe dieser f"unf Werte zur Kalibrierung erstellen wir nun die Eichkurve
(siehe Abbildung 12). Wir verwenden eine quadratische Funktion der Form 
\(p(x)=ax^2+bx+c\) mit den Parametern a, b, c wie folgt
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
Parameter & Kalibrierung \\ \hline \hline
a & -3.72441$\times 10^{-7}$ \(\pm\) 7.169$\times 10^{-8}$\\ 
b & -0.0339962 \(\pm\) 6.121}$\times 10^{-5}$ \\
c & 662.795 \(\pm\) 0.01035\\
\hline

\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\epsfig{file=eichkurve.eps,width=140 mm}

\caption{Abbildung 12: Eichkurve }
\end{center}

\pagebreak

\subsubsection{Bestimmung der roten Cadmium-Linie}

Der Fit an der roten Cadmium-Linie ist in Abbildung 13 dargestellt. Die Ergebnisse sind: 
\[x_{cd,Gauss}=553.921 \pm 0.03 Pixel\]
Dieser Wert wird mit der Eichkurve in die entsprechende Wellenl"ange umgewandelt:
\[\lambda_{Cd,rot}=643.8495 \pm 0.024 nm\]

\begin{center}
\epsfig{file=cd2.eps,width=140 mm}

\caption{Abbildung 13: Rote Cadmium-Linie mit Fit }
\end{center}
\pagebreak
\subsubsection{Bestimmung der unbekannten Linie}
In gleicher Weise wie die rote Cadmium-Linie wird die Position der unbekannten Linie bestimmt:
\[x_{unbekannt,Gauss}=310.954 \pm 0.034 \]
Mit der Umrechnung "uber die Eichkurve ergibt sich:
\[\lambda_{unbekannt}=652.188 \pm 0.024 nm\]

\begin{center}
\epsfig{file=unb.eps,width=140 mm}

\caption{Abbildung 14: unbekannte Linie mit Fit }
\end{center}

\pagebreak

\subsection{Ergebnisse}

F"ur die rote Cd-Linie finden wir den Wert: 
\[\lambda_{Cd,rot}=643.8495 \pm 0.024 nm\]
Der Literaturwert ist nach \cite{morgen}:\(\lambda=643.8470\)
Mit diesem stimmt unser Wert innerhalb des Fehlers "uberein.\\
Das unbekannte Element mit \(\lambda_{unbekannt}=652.188 \pm 0.024 nm\)
ist warscheinlich Wolfram(652.198nm), welches h"aufig als Kathodenmaterial verwendet wird.


\pagebreak
\section{Diskussion}
Im ersten Teil haben wir das Bohrsche Magneton bestimmt:
\[\mu_B=(11.85\pm1.30)\times10^{-24}\frac{J}{T}\]
Hiermit haben wir den Literaturwert von 
\(\mu_{B,lit}=9.27400915\times10^{-24}J/T\) leider nicht best"atigen k"onnen. 
Zu den Gr"unden habe wir uns schon oben um ersten Teil ge"aussert. Als Verbesserung 
schlagen wir vor: das Bild aus dem Fernrohr mit einer Kamera aufzunehmen, z.B. mit der aus Teil II oder "Ahnlichem. Damit w"urde man die Genauigkeit verbessern 
sowie die Fehler verkleinern. Man kann dann auch mehr Messungen machen.
Es war dennoch bei diesem Versuch sehr faszinierend wie gut man diesen Effekt mit 
den recht einfachen Mitteln beobachten kann. \\
Im zweiten Teil haben wir die rote Cadmium-Linie ausgemessen. F"ur die Wellenl"ange fanden wir:
\[\lambda_{Cd,rot}=643.837 \pm 0.024 nm\]
was mit dem Literaturwert von 643,8470nm innerhalb des Fehlers sehr sch"on "uberein stimmt.
Hier ist noch zu erw"ahnen das bei diesem Teil eine Menge Daten anfallen und es 
anspruchsvoll aber auch interessant war mit diesen Mengen umzugehen und verwertbare
Ergebnisse heraus zu bekommen.\\
F"ur die unbekannte Linie im Cadmium-Spektrum fanden wir die Wellenl"ange:
\[\lambda_{unbekannt}=652.188 \pm 0.024 nm\]
Nach \cite{morgen} haben wir es als Wolfram identifiziert, da es ein h"aufig eingesetztes Kathodenmaterial ist und ein Wellenl"ange von 652.198nm besitzt. Die zweite
M"oglichkeit die wir noch in Betracht gezogen haben ist Xenon, was laut 
\cite{abend} als Startergas eingesetzt wird. Die Xenon-Linie liegt bei 652.151nm. \\
Insgesamt war der Versuch sehr interessant, einmal weil wir auf verschiedene 
Arten Spektren gemessen haben, und auch weil uns unser Assistent viele n"utzlich Hinweise
gab und uns, f"ur uns neue, Methoden des Messen klar machte. So haben wir viele Dinge gelernt und ge"ubt die man bei sp"ateren Versuchen bestimmt gut anwenden kann.

\pagebreak

\begin{thebibliography}{mustermarke}

\bibitem{bezug} Zeeman-Effekt, Praktikumsanleitung

\bibitem{morgen} NIST Atomic Spectra Database,\\
    http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/linesform.html

\bibitem{abend} Wikipedia, http://de.wikipedia.org

\end{thebibliography}

%\pagebreak
%\section{Anhang}


\end{document}
