\section{Theorie}

Befinden sich Atome in einem externen Magnetfeld, so kommt es zur Aufspaltung der atomaren Spektrallinien. Diesen Effekt nennt man Zeeman-Effekt, benannt nach dem niederländischen Physiker Pieter Zeeman(1865-1943), welcher für diese Entdeckung 1902 den Nobelpreis bekam. Man unterscheidet zwischen normalem und anormalem Zeeman-Effekt; der normale Zeeman-Effekt ist ein Spezialfall des anormalen Zeeman-Effekts, bei dem der Gesamtspin Null wird: ${\bf S}=\sum_i{\bf s}_i=0$.

\subsection{Der normale Zeeman-Effekt}

Die Emission von Licht aus Atomen beschreibt man klassisch mit einem Dipol. Dieser wird durch einen positiv geladen Kern und ein negativ geladenes und um den Kern kreisendes Elektron dargestellt. Für das Dipolmoment gilt ${\bf p} =e {\bf r}$. Man legt den Koordinatenursprung in den Kern. Dadurch lässt sich das System als linearer Oszilator beschreiben und man kann folgende Bewegungsgleichung aufstellen:
\begin{equation}
	m_e\ddot{\bf r}+m_e\omega_0^2{\bf r}=0
\end{equation}
$m_e$ ist die Masse des Elektrons, $\omega_0$ seine Eigenfrequenz.\\

Mit dem nun in $z$-Richtung angelegten $B$-Feld wirkt eine Lorenzkraft auf das Elektron, wodurch der Dipol in Präzession versetzt wird. Die daraus resultierende Schwingungsgleichung lautet:
\begin{equation}
m_e\ddot{\bf r}+m_e\omega_0^2{\bf r}+|{\bf v}\times {\bf B}|=0
\end{equation}

Mit der Larmorfrequenz
\begin{equation}
	\omega_L =\frac{Be}{2m_e}
\end{equation}
ergibt sich:
\begin{equation}
	\ddot{x}+\omega_0^2x+2\omega_L\dot{y}=0
\end{equation}
\begin{equation}
	\ddot{y}+\omega_0^2y+2\omega_L\dot{x}=0
\end{equation}
\begin{equation}
	\ddot{z}+\omega_0^2z=0
\end{equation}

Mit den komplexen Ansatz $x=ae^{i\omega t}$ und $y=be^{i\omega t}$
ergibt sich das homogene lineare Gleichungssystem:
\begin{equation}\label{equ:linGleichungen}
	\begin{aligned}
	(\omega_0^2-\omega^2)a+2i\omega_L\omega b&=0\\
	(\omega_0^2-\omega^2)b-2i\omega_L\omega a&=0
	\end{aligned}
\end{equation}

Die nichttriviale Lösung lautet:
\begin{equation}
	\omega_{1,2}=\mp \omega_L + \sqrt{\omega_0^2+\omega_L^2}\approx \omega_0 \mp \omega_L
\end{equation}
Wobei $\omega_L$ gegenüber $\omega_0$ klein ist und daher vernachlässigt werden kann. Daraus ergibt sich die Frequenzverschiebung $\Delta\nu$ in Bezug auf $\nu_0=\frac{\omega_0}{ 2 \pi}$ von:
\begin{equation}
	\Delta \nu =\pm \frac{\omega_L}{2\pi}=\pm\frac{eB}{4\pi m_e}
\end{equation}
Die Spektrallinien spalten sich in drei Komponenten, das Lorentztriplett, auf: man erhält eine unverschobene (weil in $z$-Richtung keine Lorenzkraft wirkt) und zwei um $\mp\frac{\omega_L}{2\pi}$ verschobene Linien.

Mit Hilfe des homogenen linearen Gleichungssystems \ref{equ:linGleichungen} kann man über 
die Polarisationsrichtung Aussagen treffen. Wird $\omega_1=-\omega_L+\sqrt{\omega_0^2+\omega_L^2}$ in eine der beiden Gleichungen eingesetzt, ergibt sich f"ur die komplexe Amplitude $a=-ib=be^{-i\frac{\pi}{2}}$, d.h. die x-Phase hinkt der y-Phase um $\frac{\pi}{2}$ hinterher, die zugehörige Lichtwelle ist rechts zirkular polarisiert ($\sigma^-$). Mit $\omega_2$ lässt sich analog verfahren, wobei hier die Amplitude $a=-ib=be^{+i\frac{\pi}{2}}$ ist und es so eine links zirkular polarisierte Welle ($\sigma^+$) ist. Die unveränderte Linie ist linear polarisiert ($\pi$). Beobachtet man in Richtung des Magnetfeldes, so ist die $\pi$-Linie nicht zu sehen, da der Dipol in Schwingungsrichtung keine Strahlung abgibt.\\

In der wellenmechanischen Betrachtung ist die Hamiltonfunktion eines Elektrons mit der Masse $m_e$ im Feld des Atomkerns
\begin{equation}
	H=\frac{{\bf p}^2}{2m_e}+V
\end{equation}
wobei hier ${\bf p}$ der Impuls des Elektrons und $V=\frac{Ze^2}{r}$ die potentielle Energie des Elektrons im elektrischen Potential des Kerns ist. Im homogenen Magnetfeld ${\bf B}$ verändert sich der Impuls zu ${\bf p}_B={\bf p}+e{\bf A}$, mit ${\bf B}=rot{\bf A}$, dadurch ergibt sich für die Hamiltonfunktion
\begin{equation}
	H=\frac{({\bf p}+e{\bf A})^2}{2m_e}+V
\end{equation}
Den Differentialoperator $-i\hbar\nabla$ ordnen wir dem Impuls ${\bf p}$ zu, der ${\bf A}^2$-Term kann vernachlässigt werden. Mit der Coulomb-Eichung $div{\bf A}=0$ ergibt sich für den Hamiltonoperator
\begin{equation}\label{equ:hamiltonian}
H=\frac{a}{2m_e}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla+e{\bf A}\right)^2+V=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta+\frac{e\hbar}{im_e}{\bf A}+V\nabla
\end{equation}
Für ein konstantes Magnetfeld in $z$-Richtung gilt:
\begin{equation}
	\begin{aligned}
	A_x&=-\frac{B}{2}y\\
	A_y&=-\frac{B}{2}x\\
	A_x&=0
	\end{aligned}
\end{equation}
daraus folgt:
\begin{equation}\label{equ:aGrad}
	{\bf A}grad=\frac{B}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)=\frac{B}{2}\frac{\partial}{\partial\varphi}
\end{equation}

Setzt man Gleichung \ref{equ:aGrad} und den Hamiltonoperator \ref{equ:hamiltonian} in die Schrödingergleichung ein, ergibt sich mit der Coulombwechselwirkung $V(r)=\frac{Ze^2}{r}$ folgende Wellengleichung:
\begin{equation}
	\left(-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta+\frac{eB}{2m_e}\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\varphi}+V(r)\right)\Psi=E\Psi
\end{equation}
Die Gleichung lässt sich durch den Seperationansatz lösen:
\begin{equation}
	\Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)
\end{equation}

Für die Energien gilt:
\begin{equation}
	E_m=E_0+B\frac{e\hbar}{2m_e}m\ \ \text{mit}\ \ m=-l,\ldots,l
\end{equation}
$E_0$ ist die Energie ohne Magnetfeld, $m$ die magnetische Quantenzahl und $l$ die Drehimpulsquantenzahl.

Es entstehen verschiedene Energieniveaus, welche in Abhängigkeit der Magnetquantenzahl $m$ gegenüber dem ursprünglichen Energieniveau $E_o$ verschoben sind. Zwei Niveaus $E_m$ und $E_{m+1}$ haben einen Energieunterschied von
\begin{equation}
	\Delta E=\frac{e\hbar}{2m_e}B
\end{equation}
daraus ergibt sich eine Frequenzaufspaltung von
\begin{equation}
	\Delta\nu=\frac{\Delta E}{\hbar}=\frac{eB}{4\pi m_e}
\end{equation}
Das entspricht dem Ergebnis der halbklassischen Betrachtungsweise.

\subsection{Der anormale Zeeman-Effekt}

Der anormale Zeeman-Effekt tritt auf, wenn der Gesamtelektronenspin ${\bf S}$ nicht verschwindet. Da dies auf die meisten Atome zutrifft, ist dieser Effekt deutlich häufiger zu beobachten als der normale Zeeman-Effekt. Durch den zusätzlichen Elektronenspin entsteht ein weiteres magnetisches Moment
\begin{equation}
	{\bf\mu}_s=-2\frac{\mu_B}{\hbar}{\bf S}
\end{equation}

Da der Spin keine klassische Entsprechung hat, muss der anormale Zeeman-Effekt quantenmechanisch betrachtet werden. Ist die L-S-Kopplungsenergie $V_{LS}$ groß gegen die Kopplung der einzelnen Momente mit dem Magnetfeld, d.h. ist das äußere Magnetfeld schwach, so koppeln der Gesamtbahndrehimpuls ${\bf L}$ und der Gesamtspin ${\bf S}$ der Elektronen zu einem Gesamtdrehimpuls ${\bf J}$, welcher langsam um die Richtung des äußeren Magnetfeldes präzidiert. ${\bf L}$ und ${\bf S}$ präzidieren ihrerseits mit der Frequenz $\omega_L=\frac{V_{LS}}{\hbar}$ um ${\bf J}$. Die magnetischen Momente ${\bf \mu}_L$ und ${\bf \mu}_S$ zeigen in die Gegenrichtung von ${\bf L}$ und ${\bf S}$. Das resultierende Moment ${\bf \mu}_J$ zeigt jedoch im Allgemeinen nicht in die Gegenrichtung von ${\bf J}$, sondern präzediert um ${\bf J}$. Da seine Präzesion schnell ist, kann man die Position von ${\bf \mu}_J$ zeitlich mitteln. Als Mittel bleibt die Projektion von ${\bf \mu}_J$ auf ${\bf J}$ übrig
\begin{equation}
	\langle\mu_J\rangle=({\bf \mu}_J)_J=\frac{{\bf \mu}_J\cdot{\bf J}}{|{\bf J}|}
\end{equation}
Errechnet man das zeitliche Mittel $\langle\mu_J\rangle$ aus dem Vektormodell, so erhält man unter Verwendung des Bohrschen Magnetons $\mu_b=\frac{e\hbar}{2m_e}$
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\langle\mu_J\rangle&=\frac{3J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2\sqrt{J(J+1)}}\mu_B\\
		&=g_J\sqrt{J(J+1)}\mu_B=g_J\mu_B\frac{|{\bf J}|}{\hbar}
	\end{aligned}
\end{equation}
Hierbei wurde der Lande-Faktor $g_J$ definiert durch:
\begin{equation}
	g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}
\end{equation}
Mit $J_z=m_J\hbar$ erhält man somit für die $z$-Komponente des mittleren magnetischen Moments
\begin{equation}
	\langle\mu_J\rangle_z=m_Jg_J\mu_B
\end{equation}
Die potentielle Energie eines magnetischen Moments im äußeren Feld ist gegeben durch $E=-\mu\cdot{\bf B}$, daher erhalten wir in unserem Fall bei einem Magntfeld in $z$-Richtung die magnetische Zusatzenergie:
\begin{equation}
	E=-\langle\mu_J\rangle_z{\bf B}=-m_Jg_J\mu_B{\bf B}
\end{equation}
Für den energetischen Abstand einer aufgespaltenen Linie zur unverschobenen Linie gilt:
\begin{equation}
	\Delta E=\mu_B B(g_{J,2}m_{J,2}-g_{J,1}m_{J,1})
\end{equation}
und somit für den Frequenzabstand:
\begin{equation}
	\Delta\nu=\frac{\mu_BB}{\hbar}(g_{J,2}m_{J,2}-g_{J,1}m_{J,1})
\end{equation}
wobei $g_{J,i}$ die $g$-Faktoren der zu dem jeweiligen "Ubergang geh"orenden Zust"ande sind.

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