\documentclass[12pt]{beamer} \usetheme{Copenhagen} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{pgfpages} \usepackage{sidecap} \usepackage{subfigure} \author{Iris Feldt} \title{Untersuchung des Einflusses des schwachen Gravitationslinseneffekts auf die Temperaturkorrelation der kosmischen Hintergrundstrahlung} \setbeamercovered{transparent} \setbeamertemplate{navigation symbols}{} %\logo{} %\institute{} \date{26.09.2016} %\subject{} \setbeamercovered{transparent} \useoutertheme{infolines} \setbeamertemplate{caption}{\insertcaption} %\logo{} %\institute{} \date{26.09.2016} %\subject{} % Caption ohne „Abbildung“ %\setbeamertemplate{caption}{\insertcaption} \begin{document} \begin{frame} \titlepage \end{frame} \begin{frame} \tableofcontents \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Einleitung} \begin{frame} \begin{itemize} \item allo \item allo \end{itemize} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Grundlagen} \begin{frame} Blub \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Vergleich der Temperaturkorrelationen} \subsection{Bestimmung der Korrelationsfunktionen} \begin{frame} \begin{itemize} \item Für gegebenes Leistungsspektrum $C_{\tau_{u,g}}(l)$ gilt für die gelinste bzw. ungelinste Temperaturkorrelation $\xi_g$ bzw. $\xi_u$ \begin{align*} \xi_{u,g}(\theta) = \int \frac{ldl}{2\pi}C_{\tau_{u,g}}(l)J_{0}(l\theta) \end{align*} \item Leistungsspektren wurden aus dem CAMB Datensatz entnommen \item Leistungsspektren sind diskret $\Rightarrow$ Summation statt Integration: \begin{align*} \xi_{g,u}(\Theta) &= \sum_{l'=200}^{1,8\cdot10^{5}} \frac{\Delta l}{2 \pi}(\Delta l \cdot l') \cdot C_{\tau_{g,u}}(\lfloor \Delta l \cdot l' \rfloor) \cdot J_{0}((\Delta l \cdot l') \cdot \theta)\\ \Delta l &= 0{,}01 ~~~ l'=\frac{l}{\Delta l} \end{align*} \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \begin{itemize} \end{itemize} \end{frame} \subsection{Ergebnisse} \begin{frame} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/mitCgl/Korr_Cu_Cl_Cl2.png} \caption{Korrelationsfunktionen} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{columns}[onlytextwidth] \begin{column}{0.4\textwidth} \begin{itemize} \item Maximum bei Winkelabstand $\theta = 0$ \item bis $\theta \sim 0,8$ streng monoton fallend \item danach schwanken um den Wert Null \item in diesem Maßstab kein Unterschied zu erkennen\\ $\Rightarrow$ Differenzfunktionen \end{itemize} \end{column} \begin{column}{0.6\textwidth} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/mitCgl/Korr_Cu_Cl_Cl2.png} \caption{Korrelationsfunktionen} \end{figure} \end{column} ​\end{columns} \end{frame} \begin{frame} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cu_Cl.png} \caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ } \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{columns}[onlytextwidth] \begin{column}{0.4\textwidth} \begin{itemize} \item unterschied zwischen gelinst und ungelinst sehr klein:\\ $(\xi_u - \xi_g)_{max} \lesssim 3\cdot 10^{-5}$ \item bis $\theta \sim 0,8$ ungelinste Korreltion größer als gelinste \item danach schwanken um den Wert Null wsl. wegen Schwankung der Korrelationsfunktionen \end{itemize} \end{column} \begin{column}{0.6\textwidth} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cu_Cl.png} \caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$} \end{figure} \end{column} ​\end{columns} \end{frame} \begin{frame} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cu_Cl,Cu_Cl2.png} \caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ (blaue Kurve) und $\xi_u - \xi_{g_2}$ (grüne Kurve)} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{columns}[onlytextwidth] \begin{column}{0.4\textwidth} \begin{itemize} \item Näherung ähnelt qualitativ der nicht genäherten Korrelationsfunktion \item Maximum der genäherten ist zu kleineren $\theta$s verschoben \item $(\xi_u -\xi_{g_2})_{max} $ fast doppelt so groß wie $(\xi_u - \xi_g)_{max}$ \end{itemize} \end{column} \begin{column}{0.6\textwidth} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cu_Cl,Cu_Cl2.png} \caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ (blaue Kurve) und $\xi_u - \xi_{g_2}$ (grüne Kurve) } \end{figure} \end{column} ​\end{columns} \end{frame} \begin{frame} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cl_Cl2.png} \caption{Differenzfunktion $\xi_g - \xi_{g_2} $} \end{figure} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen} \subsection{Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen} \begin{frame} \begin{itemize} \item Annahme: gelinster und ungelinster CMB sind gaußsche Zufallsfelder:\\ $ p(T(\theta),T(\theta ')) &= \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 \mathrm{det(Cov)}}}\exp\left[-\frac{1}{2} \binom{T(\theta)}{T(\theta')}^{t} \mathrm{Cov}^{-1} \binom{T(\theta)}{T(\theta')}\right] $ \item Cov$^{-1}$ ist das Inverse der Kovarianzmatrix:\\ $ \mathrm{Cov} =\begin{pmatrix} \sigma^{2} & \xi (\theta) \\ \xi (\theta) & \sigma^{2} \end{pmatrix} ~ \mathrm{mit} ~ \sigma^2 = \langle T^2 \rangle $ \item Exponent wird über $T(\theta)$ und $T(\theta')$ aufgetragen, es gilt:\\ je elliptischer desto korrelierter \end{itemize} \end{frame} \subsection{Ergebnisse} \begin{frame} \begin{itemize} \item Beobachtung: Elliptizität und damit Korrelation nimmt mit abnehmender Winkeldifferenz zu \end{itemize} \begin{figure} \centering \subfigure[für $\theta = \frac{\pi}{3}$]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_3.png}}\qquad \subfigure[für $\theta = \frac{\pi}{300}$]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_300.png}} \end{figure} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Fazit} \begin{frame} \begin{itemize} \item Temperaturkorrelation des CMB wird durch den schwachen Gravitationslinseneffekt verringert \item Effekt ist klein; $\xi_u-\xi_g$ ist $\mathcal{O} (10^{-5})$ \item Näherung in Nullter Ordnung in $C_{gl_2}(\theta)$ ähnelt qualitativ der gelinsten Korrelationsfunktion \item Näherung unterschätzt die gelinste Korrelation für kleine $\theta$ und überschätzt für $\theta > 0,2$ \end{itemize} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Literatur} \begin{frame} \begin{thebibliography}{00} % {00}: max 2-stellige Referenznummer \bibitem{paper_lang} A. Lewis, A. Challinor (2006)\textit{Weak Gravitational Lensing of the CMB.} Physics Reports. 429 1-65 \\Available:~http://arxiv.org/abs/astro-ph/0601594 [13.09.2016]. \bibitem{paper_kurz} D. Hanson, A. Challinor, A. Lewis \textit{Weak lensing of the CMB}. Gen.Rel.Grav.42:2197-2218, 2010\\Available:~http://arxiv.org/abs/0911.0612v1 [13.09.2016]. \bibitem{statistik} H. Risken \textit{The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications, Kapitel 2.3.3} \\Springer-Verlag: Berlin Heidelberg New York Tokyo \bibitem{CAMB} A. Lewis, A. Challinor \textit{Code for Anisotropies in the Microwave Background (CAMB)}\\Available:~http://lambda.gsfc.nasa.gov/toolbox/tb\_camb\_form.cfm [13.09.2016]. \end{thebibliography} \end{frame} \begin{frame} \begin{thebibliography}{00} \bibitem{Temp} Fixsen, D. J. (2009). \textit{The Temperature of the Cosmic Microwave Background.} The Astrophysical Journal. 707:916–920. \\Available:~https://arxiv.org/abs/0911.1955 \bibitem{wiki1} Wikipedia \textit{Multivariate Verteilung} \\Available:~https://de.wikipedia.org/wiki/Multivariate\_Verteilung [13.09.2016].\\ Wikipedia, Die freie Enzyklopädie \bibitem{wiki2} Wikipedia \textit{Besselsche Differentialgleichung} \\Available:~https://de.wikipedia.org/wiki/Besselsche\_Differentialgleichung [13.09.2016].\\ Wikipedia, Die freie Enzyklopädie \end{thebibliography} \end{frame} \end{document}