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\author{Iris Feldt}
\title{Untersuchung des Einflusses des schwachen Gravitationslinseneffekts auf die Temperaturkorrelation der kosmischen Hintergrundstrahlung}
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\date{26.09.2016} 
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\date{26.09.2016} 
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\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Einleitung}

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item allo
\item allo
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Grundlagen}

\begin{frame}
Blub
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Vergleich der Temperaturkorrelationen}
\subsection{Bestimmung der Korrelationsfunktionen}
\begin{frame}
\begin{itemize}
\item Für gegebenes Leistungsspektrum $C_{\tau_{u,g}}(l)$ gilt für die gelinste bzw. ungelinste Temperaturkorrelation $\xi_g$ bzw. $\xi_u$
\begin{align*}
\xi_{u,g}(\theta) = \int \frac{ldl}{2\pi}C_{\tau_{u,g}}(l)J_{0}(l\theta)
\end{align*}
\item Leistungsspektren wurden aus dem CAMB Datensatz entnommen
\item Leistungsspektren sind diskret $\Rightarrow$ Summation statt Integration:
\begin{align*}
\xi_{g,u}(\Theta) &= \sum_{l'=200}^{1,8\cdot10^{5}} \frac{\Delta l}{2 \pi}(\Delta l \cdot l') \cdot C_{\tau_{g,u}}(\lfloor \Delta l \cdot l' \rfloor) \cdot J_{0}((\Delta l \cdot l') \cdot \theta)\\
\Delta l &= 0{,}01 ~~~ l'=\frac{l}{\Delta l}
\end{align*} 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{itemize}

\end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Ergebnisse}
\begin{frame}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/mitCgl/Korr_Cu_Cl_Cl2.png}
\caption{Korrelationsfunktionen}
\end{figure}
\end{frame}



\begin{frame}
\begin{columns}[onlytextwidth]

    \begin{column}{0.4\textwidth}
    \begin{itemize}
    \item Maximum bei Winkelabstand $\theta = 0$
    \item bis $\theta \sim 0,8$ streng monoton fallend
    \item danach schwanken um den Wert Null 
    \item in diesem Maßstab kein Unterschied zu erkennen\\
    $\Rightarrow$ Differenzfunktionen
    \end{itemize}
    \end{column}
    
	\begin{column}{0.6\textwidth}
    \begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/mitCgl/Korr_Cu_Cl_Cl2.png}
	\caption{Korrelationsfunktionen}
	\end{figure}
	\end{column}

​\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cu_Cl.png}
\caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ }
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{columns}[onlytextwidth]

    \begin{column}{0.4\textwidth}
    \begin{itemize}
    \item unterschied zwischen gelinst und ungelinst sehr klein:\\
    	$(\xi_u - \xi_g)_{max} \lesssim 3\cdot 10^{-5}$ 
    \item bis $\theta \sim 0,8$ ungelinste Korreltion größer als gelinste
    \item danach schwanken um den Wert Null wsl. wegen Schwankung der Korrelationsfunktionen
    \end{itemize}
    \end{column}
    
	\begin{column}{0.6\textwidth}
    \begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cu_Cl.png}
	\caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$}
	\end{figure}
	\end{column}

​\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cu_Cl,Cu_Cl2.png}
\caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ (blaue Kurve) und $\xi_u - \xi_{g_2}$ (grüne Kurve)}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{columns}[onlytextwidth]

    \begin{column}{0.4\textwidth}
    \begin{itemize}
    \item Näherung ähnelt qualitativ der nicht genäherten Korrelationsfunktion
   	\item Maximum der genäherten ist zu kleineren $\theta$s verschoben
   	\item $(\xi_u -\xi_{g_2})_{max} $ fast doppelt so groß wie $(\xi_u - \xi_g)_{max}$
    \end{itemize}
    \end{column}
    
	\begin{column}{0.6\textwidth}
    \begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cu_Cl,Cu_Cl2.png}
	\caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ (blaue Kurve) und $\xi_u - \xi_{g_2}$ (grüne Kurve) }
	\end{figure}
	\end{column}

​\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/mitCgl/Diff_Cl_Cl2.png}
\caption{Differenzfunktion $\xi_g - \xi_{g_2} $}
\end{figure}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen}
\subsection{Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen}
\begin{frame}
\begin{itemize}
\item Annahme: gelinster und ungelinster CMB sind gaußsche Zufallsfelder:\\
$
p(T(\theta),T(\theta ')) &= \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 \mathrm{det(Cov)}}}\exp\left[-\frac{1}{2} \binom{T(\theta)}{T(\theta')}^{t} \mathrm{Cov}^{-1} \binom{T(\theta)}{T(\theta')}\right]
$
\item Cov$^{-1}$ ist das Inverse der Kovarianzmatrix:\\
$
\mathrm{Cov} =\begin{pmatrix}
\sigma^{2}  &  \xi (\theta) \\
\xi (\theta)  & \sigma^{2} 
\end{pmatrix}  ~ \mathrm{mit}   ~ \sigma^2 = \langle T^2 \rangle
$
\item Exponent wird über $T(\theta)$ und $T(\theta')$ aufgetragen, es gilt:\\
je elliptischer desto korrelierter
\end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Ergebnisse}
\begin{frame}
\begin{itemize}

\item Beobachtung: Elliptizität und damit Korrelation nimmt mit abnehmender Winkeldifferenz zu
\end{itemize}
\begin{figure}
\centering
\subfigure[für $\theta = \frac{\pi}{3}$]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_3.png}}\qquad
\subfigure[für $\theta = \frac{\pi}{300}$]{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_300.png}}
\end{figure}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fazit}

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item Temperaturkorrelation des CMB wird durch den schwachen Gravitationslinseneffekt verringert
\item Effekt ist klein; $\xi_u-\xi_g$ ist $\mathcal{O} (10^{-5})$
\item Näherung in Nullter Ordnung in $C_{gl_2}(\theta)$ ähnelt qualitativ der gelinsten Korrelationsfunktion
\item Näherung unterschätzt die gelinste Korrelation für kleine $\theta$ und überschätzt für $\theta > 0,2$  
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Literatur}
\begin{frame}
\begin{thebibliography}{00}   % {00}: max 2-stellige Referenznummer
\bibitem{paper_lang} A. Lewis, A. Challinor (2006)\textit{Weak Gravitational Lensing of the CMB.} Physics Reports. 429 1-65 \\Available:~http://arxiv.org/abs/astro-ph/0601594 [13.09.2016].  

\bibitem{paper_kurz} D. Hanson, A. Challinor, A. Lewis \textit{Weak lensing of the CMB}. Gen.Rel.Grav.42:2197-2218, 2010\\Available:~http://arxiv.org/abs/0911.0612v1 [13.09.2016].

\bibitem{statistik} H. Risken \textit{The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications, Kapitel 2.3.3}
\\Springer-Verlag: Berlin Heidelberg New York Tokyo 

\bibitem{CAMB} A. Lewis, A. Challinor \textit{Code for Anisotropies in the Microwave Background (CAMB)}\\Available:~http://lambda.gsfc.nasa.gov/toolbox/tb\_camb\_form.cfm [13.09.2016].

\end{thebibliography}

\end{frame}
\begin{frame}
\begin{thebibliography}{00}
\bibitem{Temp} Fixsen, D. J. (2009). \textit{The Temperature of the Cosmic Microwave Background.} The Astrophysical Journal. 707:916–920.
\\Available:~https://arxiv.org/abs/0911.1955

\bibitem{wiki1} Wikipedia \textit{Multivariate Verteilung} \\Available:~https://de.wikipedia.org/wiki/Multivariate\_Verteilung [13.09.2016].\\
 Wikipedia, Die freie Enzyklopädie
 
\bibitem{wiki2} Wikipedia \textit{Besselsche Differentialgleichung} \\Available:~https://de.wikipedia.org/wiki/Besselsche\_Differentialgleichung [13.09.2016].\\
 Wikipedia, Die freie Enzyklopädie
\end{thebibliography}
\end{frame}


\end{document}