\documentclass[12pt]{beamer} \usetheme{Copenhagen} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{pgfpages} \usepackage{sidecap} \usepackage{subfigure} \author{Iris Feldt} \title[Temperaturkorrelation des CMB]{Untersuchung des Einflusses des schwachen Gravitationslinseneffekts auf die Temperaturkorrelation der kosmischen Hintergrundstrahlung} \setbeamercovered{transparent} \setbeamertemplate{navigation symbols}{} %\logo{} %\institute{} \date{26.09.2016} %\subject{} \setbeamercovered{transparent} \useoutertheme{infolines} \setbeamertemplate{caption}{\insertcaption} %\logo{} %\institute{} \date{26.09.2016} %\subject{} % Caption ohne „Abbildung“ %\setbeamertemplate{caption}{\insertcaption} \begin{document} \begin{frame} \titlepage \end{frame} \begin{frame}{Einleitung} \begin{itemize} \item CMB enthält Informationen zum Alter, zur Ausdehnungsgeschwindigkeit und Zusammensetzung des Universums \item durch schwachen Gravitationslinseneffekt nimmt Schärfe der Strukturen des CMBs um $\sim 3\%$ ab \item für die Rekonstruktion des ursprünglichen CMB ist es wichtig, diesen Prozess zu verstehen \end{itemize} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame} \tableofcontents \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Theorie} \subsection{Die kosmische Hintergrundstrahlung (CMB)} \begin{frame}{Der CMB} \begin{itemize} \item die kosmische Hintergrundstrahlung (CMB) ist die älteste Strahlung, die man messen kann \item ca. 300.000 Jahre nach dem Urknall entstanden \item isotrope Schwarzkörperstrahlung mit $T=2{,}726~$Kelvin \item Anisotropien der Größenordnung $10^{-5}~$Kelvin, durch Dichteschwankungen und Strömungsgeschwindigkeiten im frühen Universum \item Temperaturschwankungen bilden gaußsches Zufallsfeld \end{itemize} \end{frame} \subsection{Der schwache Gravitationslinseneffekt} \begin{frame}{Der schwache Gravitationslinseneffekt} \begin{itemize} \item Photonen werden durch Gravitationspotentiale $\Psi$ abgelenkt\\ \item Ablenkungswinkel $\delta \alpha $ sind klein \item absoluter Ablenkungswinkel $\boldsymbol{\alpha}=\nabla \psi$, wird ermittelt durch Summation aller $\delta \alpha$ entlang der Sichtlinie des Beobachters \item Effekt ist klein $\Rightarrow$ gelinstes Temperaturfeld ist auch ein gaußsches Zufallsfeld \item Zusammenhang zwischen ungelinster $T_u$ und gelinster $T_g$ Temperatur: $T_g(\boldsymbol{\beta})=T_u(\boldsymbol{\beta + \alpha})$ \end{itemize} \end{frame} \subsection{Bestimmung der Korrelationsfunktionen} \begin{frame}{Bestimmung der Korrelationsfunktionen} \begin{itemize} \item Berechnungen beziehen sich auf räumlich flaches Universum \item für das Leistungsspektrum der Temperatur $C_{\tau}$ gilt: \begin{align*} \langle \tau(\boldsymbol{l})\tau(\boldsymbol{l'})\rangle = C_{\tau}(l)\delta(\boldsymbol{l}-\boldsymbol{l'}) \end{align*} \item bei gegebenem Leistungsspektrum $C_{\tau}(l)$ gilt für die Temperaturkorrelation $\xi$: \begin{align*} \xi(\theta) = \int \frac{ldl}{2\pi}C_{\tau}(l)J_{0}(l\theta) \end{align*} \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \begin{itemize} \item mit $\xi_g(\theta) = \langle T_u(\boldsymbol{\beta} +\boldsymbol{\alpha})T_u(\boldsymbol{\beta'} +\boldsymbol{\alpha'})\rangle$ gilt: \begin{align*} \xi_g(\theta) = \int \frac{d^2\boldsymbol{l}}{(2\pi)^2} C_{\tau_u}(l)e^{-\frac{1}{2}\langle[\boldsymbol{l}\cdot(\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\alpha'})]^2\rangle}J_{0}(l\theta) \end{align*} \begin{align*} \mathrm{mit}~ \langle [\boldsymbol{l}\cdot(\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\alpha'})]^2\rangle &= l^2[\sigma^2_{\alpha}(\theta) + cos(2\phi)C_{gl,2}(\theta)]\\ \sigma^2_{\alpha}(\theta) &= C_{gl}(0)-C_{gl}(\theta) = \frac{1}{2}\langle(\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\alpha'})^2\rangle \\ C_{gl}(\theta) &= \int \frac{dl}{2\pi} l^3 C_{\psi}(l)J_0(l\theta)\\ C_{gl,2}(\theta) &= \int \frac{dl}{2\pi} l^3 C_{\psi}(l)J_2(l\theta) \end{align*} \item ich habe mich mit folgender Näherung beschäftigt: \begin{align*} \xi_{g_2}(\theta) = \int \frac{l}{2\pi} C_{\tau_u}(l)e^{-\frac{1}{2}l^2\sigma^2_{\alpha}(\theta)}J_0(l\theta) \end{align*} \end{itemize} \end{frame} \subsection{Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen} \begin{frame}{Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen} \begin{itemize} \item Annahme: gelinster und ungelinster CMB sind gaußsche Zufallsfelder: \begin{align*} p(T(\theta),T(\theta ')) = \frac{\exp \left[-\frac{1}{2} \binom{T(\theta)}{T(\theta')}^{t} \mathrm{Cov}^{-1} \binom{T(\theta)}{T(\theta')}\right]}{\sqrt{(2\pi)^2 \mathrm{det(Cov)}}} \end{align*} \item Cov$^{-1}$ ist das Inverse der Kovarianzmatrix: \begin{align*} \mathrm{Cov} =\begin{pmatrix} \sigma^{2} & \xi (\theta) \\ \xi (\theta) & \sigma^{2} \end{pmatrix} ~ \mathrm{mit} ~ \sigma^2 = \langle T^2 \rangle \end{align*} \item Exponent wird über $T(\theta)$ und $T(\theta')$ aufgetragen. Es gilt:\\ je elliptischer desto korrelierter \end{itemize} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Ergebnisse} \subsection{Vergleich der Temperaturkorrelationen} \begin{frame}{Vergleich der Temperaturkorrelationen} \begin{itemize} \item Leistungsspektren $C_{\tau_u}, C_{\tau_g}$ und $C_{\psi}=\frac{4}{l^4}C_{\kappa}$ wurden aus dem CAMB Datensatz entnommen \item Leistungsspektren sind diskret $\Rightarrow$ Summation statt Integration mit einem Summationsabstand von $\Delta l = 0{,}01$ \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/Korr_Cu_Cl_Cl2.png} \caption{Korrelationsfunktionen} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{columns}[onlytextwidth] \begin{column}{0.4\textwidth} \begin{itemize} \item Maximum bei Winkelabstand $\theta = 0$ \item bis $\theta \sim 0,8$ streng monoton fallend \item danach Schwanken um den Wert Null \item in diesem Maßstab kein Unterschied zu erkennen\\ $\Rightarrow$ Differenzfunktionen \end{itemize} \end{column} \begin{column}{0.6\textwidth} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Korr_Cu_Cl_Cl2.png} \caption{Korrelationsfunktionen} \end{figure} \end{column} \end{columns} \end{frame} \begin{frame} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/Diff_Cu_Cl.png} \caption{Differenzfunktion $\xi_u - \xi_g$ } \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{columns}[onlytextwidth] \begin{column}{0.4\textwidth} \begin{itemize} \item Unterschied zwischen gelinst und ungelinst sehr klein:\\ $(\xi_u - \xi_g)_{max} \lesssim 3\cdot 10^{-5}$ \item bis $\theta \sim 0,8$ ungelinste Korreltion größer als gelinste \item danach Schwanken um den Wert Null \end{itemize} \end{column} \begin{column}{0.6\textwidth} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Diff_Cu_Cl.png} \caption{Differenzfunktion $\xi_u - \xi_g$} \end{figure} \end{column} \end{columns} \end{frame} \begin{frame} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/DiffCu_Cl,Cu_Cl2.png} \caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ (blaue Kurve) und $\xi_u - \xi_{g_2}$ (grüne Kurve)} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{columns}[onlytextwidth] \begin{column}{0.4\textwidth} \begin{itemize} \item Näherung ähnelt qualitativ der \\nicht genäherten Korrelationsfunktion \item Maximum der genäherten Korrelationsfunktion ist zu kleineren $\theta$s verschoben \item $(\xi_u -\xi_{g_2})_{max} $ fast doppelt so groß wie $(\xi_u - \xi_g)_{max}$ \end{itemize} \end{column} \begin{column}{0.6\textwidth} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/DiffCu_Cl,Cu_Cl2.png} \caption{Differenzfunktionen $\xi_u - \xi_g$ (blaue Kurve) und $\xi_u - \xi_{g_2}$ (grüne Kurve) } \end{figure} \end{column} \end{columns} \end{frame} \begin{frame} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Bilder/Diff_Cl_Cl2.png} \caption{Differenzfunktion $\xi_g - \xi_{g_2} $} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{columns}[onlytextwidth] \begin{column}{0.4\textwidth} \begin{itemize} \item Näherung unterschätzt bis $\theta \sim 0,2$ gelinste Korrelation \item Näherung überschätzt bis $\theta \sim 0,8$ gelinste Korrelation \item danach Schwanken um die Null \end{itemize} \end{column} \begin{column}{0.6\textwidth} \begin{figure}[ht] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{Bilder/Diff_Cl_Cl2.png} \caption{Differenzfunktion $\xi_g - \xi_{g_2} $} \end{figure} \end{column} \end{columns} \end{frame} \subsection{Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen} \begin{frame}{Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen} \begin{figure} \centering \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{3}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_3.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{10}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_10.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{30}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_30.png}}\\ \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{100}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_100.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{300}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_300.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{1000}$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/WahrscheinlichCu_1000.png}} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{itemize} \item Elliptizität und damit Korrelation nimmt mit abnehmender Winkeldifferenz zu \item kann durch Korrelationskoeffizienten $r=\left| \frac{\xi(\theta)}{\xi(0)}\right|$ quantifiziert werden \end{itemize} \begin{table} \centering \begin{tabular}{rrrr} \multicolumn{1}{c}{${\bf l}$} & \multicolumn{1}{c}{${\bf r_{u}(l)}$} & \multicolumn{1}{c}{${\bf r_{g}(l)}$} & \multicolumn{1}{c}{${\bf r_{g_{2}}(l)}$} \\ \hline \\ $3 $ & $0,073855482568$ & $0,073850631923$ & $0,073856277730$ \\ $10$ & $0,299666004838$ & $0,299646380494$ & $0,299671805244$ \\ $30$ & $0,809941838776$ & $0,809927906936$ & $0,809896875335$ \\ $100$ & $0,980651888883$ & $0,980650365330$ & $0,980616964227$ \\ $300$ & $0,997826472344$ & $0,997826300167$ & $0,997820992293$ \\ $1000$ & $0,999804137724$ & $0,999804122198$ & $0,999803624035$ \\ $3000$ & $0,999978235132$ & $0,999978233407$ & $0,999978177850$ \\ \end{tabular} \label{naja} \caption{Korrelationskoeffizienten in Abhängigkeit von Multipol $l=\frac{\pi}{\theta}$} \end{table} \end{frame} \begin{frame} \begin{figure} \centering \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{3},V=10^6$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_3.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{10},V=10^6$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_10.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{30},V=10^5$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_30.png}}\\ \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{3},V=10^7$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_3.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{10},V=10^7$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_10.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{30},V=10^5$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_30.png}} \caption{Betrag der Differenz der unglinsten, gelinsten (obere Reihe) und der ungelinsten, genähert gelinsten (untere Reihe) Wahrscheinlichkeitsverteilung} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{figure} \centering \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{100},V=10^5$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_100.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{300},V=10^4$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_300.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{1000},V=10^4$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl_1000.png}}\\ \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{100},V=10^4$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_100.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{300},V=10^3$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_300.png}}\quad \subfigure[$\theta = \frac{\pi}{1000},V=10^2$]{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Bilder/Prob/DiffCu_Cl2_1000.png}} \caption{Betrag der Differenz der unglinsten, gelinsten (obere Reihe) und der ungelinsten, genähert gelinsten (untere Reihe) Wahrscheinlichkeitsverteilung} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \begin{itemize} \item ungelinster Korrelationskoeffizient stets größer als gelinster\\ $\Rightarrow$ ungelinster CMB korreliert stärker als gelinster \item für $l<30$ ist $r_{g_2}$ größer als $r_u$ und $r_g$\\ $\Rightarrow$ Näherung überschätzt Korrelation des gelinsten CMB \item für $l\geq 30$ $r_{g_2}$ kleiner als $r_u$ und $r_g$ \\$\Rightarrow$ Näherung unterschätzt Korrelation des gelinsten CMB \end{itemize} \begin{table} \centering \begin{tabular}{rrrr} ${\bf l}$ & $({\bf r_{u}}-{\bf r_{g}})({\bf l})$ & $({\bf r_{u}}-{\bf r_{g_{2}}})({\bf l})$ & $({\bf r_{g}}-{\bf r_{g_{2}}})({\bf l})$\\ \hline \\ $3 $ & $4,8506\cdot 10^{-6}$ & $-7,9516\cdot 10^{-7} $ &$ -5,6458\cdot 10^{-6} $\\ $10$ & $1,9624\cdot 10^{-5}$ & $-5,8004\cdot 10^{-6}$ &$ -2,5425\cdot 10^{-5}$\\ $30$ & $1,3932\cdot 10^{-5} $ & $4,4963\cdot 10^{-5} $ & $3,1032\cdot 10^{-5}$\\ $100$ & $1,5236\cdot 10^{-6} $ & $3,4925\cdot 10^{-5} $ & $3,3401\cdot 10^{-5} $\\ $300$ & $1,7218\cdot 10^{-7} $ & $ 5,4801\cdot 10^{-6}$ & $5,3079\cdot 10^{-6} $\\ $1000$ & $1,5526\cdot 10^{-8} $ & $ 5,1369\cdot 10^{-7} $ & $4,9816\cdot 10^{-7}$\\ $3000$ & $1,7250\cdot 10^{-9} $ & $ 5,7282\cdot 10^{-8}$ & $ 5,5557\cdot 10^{-8}$\\ \end{tabular} \caption{Differenz der Korrelationskoeffizienten in Abhängigkeit von Multipol $l=\frac{\pi}{\theta}$ } \end{table} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Fazit} \begin{frame}{Fazit} \begin{itemize} \item Temperaturkorrelation des CMB wird durch den schwachen Gravitationslinseneffekt verringert \item Effekt ist klein; $\xi_u-\xi_g$ ist $\mathcal{O} (10^{-5})$ \item Näherung in nullter Ordnung in $C_{gl_2}(\theta)$ ähnelt für kleine Winkelabstände $\theta$ $qualitativ$ der gelinsten Korrelationsfunktion \item Näherung unterschätzt die gelinste Korrelation für kleine $\theta$ und überschätzt für $\theta > 0,2$ \end{itemize} \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Literatur} \begin{frame} \begin{thebibliography}{00} % {00}: max 2-stellige Referenznummer \small \bibitem{paper_lang} Lewis, A., \& Challinor, A. (2006). \textit{Weak Gravitational Lensing of the CMB.} Physics Reports, 429(1), 1-65. \\Available:~http://arxiv.org/abs/astro-ph/0601594 [13.09.2016]. \bibitem{paper_kurz} Hanson, D., Challinor, A., \& Lewis, A. (2010). \textit{Weak Lensing of the CMB.} General Relativity and Gravitation, 42(9), 2197-2218.\\Available:~http://arxiv.org/abs/0911.0612v1 [13.09.2016]. \bibitem{statistik} Risken, H. (1984). \textit{The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications.} (Kapitel 2.3.3). Springer Berlin Heidelberg. \bibitem{CAMB} Lewis, A. \& Challinor, A. (2016) \textit{Code for Anisotropies in the Microwave Background (CAMB)}\\Available:~http://lambda.gsfc.nasa.gov/toolbox/tb\_camb\_form.cfm [13.09.2016]. \bibitem{Temp} Fixsen, D. J. (2009). \textit{The Temperature of the Cosmic Microwave Background.} The Astrophysical Journal, 707(2), 916. \\Available:~https://arxiv.org/abs/0911.1955 [13.09.2016]. \end{thebibliography} \end{frame} \end{document}